Costruzione di un pentagono

Costruzione di un pentagono

Costruiamo il pentagono regolare partendo da un lato.

Per proseguire è necessario fare una premessa: occorre prendere come postulato il fatto che sia possibile costruire un triangolo considerando esclusivamente le lunghezze dei sui lati.

Nella geometria in oggetto questa affermazione di principio risulterebbe data nei seguenti termini: ogni relazione a tre termini costituita da tre relazioni binarie complanari consecutive può costituire un triangolo.

In parole povere prendendo tre oggetti, ad esempio tre listelli di legno, possiamo collegarli in sequenza e se le lunghezze sono appropriate costituiscono un triangolo.

Ogni “segmento” è da considerare una relazione tra due entità (istanze) rappresentate da “punti”.

La relazione consiste in una differente posizione nel piano quindi una disuguaglianza tra posizioni.

Si può consultare l’interpretazione della relazione in un altro post.

Quella che segue è la rappresentazione di una relazione che prendiamo come lato del pentagono.

La relazione è denominata R1 tra le istanze a e b.

Fig. A

R1=(a,b)

Per un uso successivo applichiamo la relazione R1 all’istanza b e otteniamo l’istanza c.

Creiamo la relazione R2 tra le istanze a,b e c.

Fig. B

R2=(a,b,c)

Applichiamo la relazione R2 agli estremi a e b e otteniamo l’istanza d.

Fig. C

R2(a,d,b)

Mettiamo in relazione simultanea tre istanze tramite la stessa relazione che costituisce il lato del pentagono.

{R1(a,b),R1(b,c),R1(c,a)}

soddisfacendo contemporaneamente queste tre condizioni si ottiene naturalmente un triangolo equilatero.

In pratica ciò corrispondere a prendere tre listelli di legno della stessa misura e congiungerli.

Fig. D

{R1(a,b),R1(b,c),R1(c,a)}

Applichiamo nuovamente la relazione R1 partendo dalle istanze d e c e otteniamo l’istanza m.

Fig. E

{R1(d,c),R1(c,m),R1(m,d)}

Applichiamo la relazione R1 a b verso m e otteniamo l’istanza f.

Fig. F

Creiamo la relazione R3 tra le istanze d e f e la applichiamo all’istanza d verso c ottenendo l’istanza g

Fig. G

R3=(d,f)

R3(d,g)

Creiamo la relazione tra le istanze a e g

Fig. H

R4=(a,g)

conoscendo le relazioni R1 e R4 le applichiamo per definire il punto h che corrisponde al vertice del pentagono

{R1(a,b),R4(b,h),R4(h,a)}

Ora possiamo determinare l’istanza i e i successivi lati del pentagono

{R1(b,h),R4(h,i),R4(i,b)}

Ripetendo il passo precedente con le istanze di partenza invertite otteniamo i lati mancanti del pentagono

{R1(h,b),R4(b,n),R4(n,h)}

Fig. I

Tutta la costruzione è stata effettuata senza utilizzare riga e compasso ne alcun postulato di Euclide.

La costruzione può essere eseguita utilizzando ad esempio, un listello di legno tagliato in base alle relazioni che si costituiscono.