Costruzione di un pentagono

Costruzione di un pentagono

Costruiamo il pentagono regolare partendo da un lato.

Per proseguire è necessario fare una premessa: occorre prendere come postulato il fatto che sia possibile costruire un triangolo considerando esclusivamente le lunghezze dei sui lati.

Nella geometria in oggetto questa affermazione di principio risulterebbe data nei seguenti termini: ogni relazione a tre termini costituita da tre relazioni binarie complanari consecutive può costituire un triangolo.

In parole povere prendendo tre oggetti, ad esempio tre listelli di legno, possiamo collegarli in sequenza e se le lunghezze sono appropriate costituiscono un triangolo.

Ogni “segmento” è da considerare una relazione tra due entità (istanze) rappresentate da “punti”.

La relazione consiste in una differente posizione nel piano quindi una disuguaglianza tra posizioni.

Si può consultare l’interpretazione della relazione in un altro post.

Quella che segue è la rappresentazione di una relazione che prendiamo come lato del pentagono.

La relazione è denominata R1 tra le istanze a e b.

Fig. A

R1=(a,b)

Per un uso successivo applichiamo la relazione R1 all’istanza b e otteniamo l’istanza c.

Creiamo la relazione R2 tra le istanze a,b e c.

Fig. B

R2=(a,b,c)

Applichiamo la relazione R2 agli estremi a e b e otteniamo l’istanza d.

Fig. C

R2(a,d,b)

Mettiamo in relazione simultanea tre istanze tramite la stessa relazione che costituisce il lato del pentagono.

{R1(a,b),R1(b,c),R1(c,a)}

soddisfacendo contemporaneamente queste tre condizioni si ottiene naturalmente un triangolo equilatero.

In pratica ciò corrispondere a prendere tre listelli di legno della stessa misura e congiungerli.

Fig. D

{R1(a,b),R1(b,c),R1(c,a)}

Applichiamo nuovamente la relazione R1 partendo dalle istanze d e c e otteniamo l’istanza m.

Fig. E

{R1(d,c),R1(c,m),R1(m,d)}

Applichiamo la relazione R1 a b verso m e otteniamo l’istanza f.

Fig. F

Creiamo la relazione R3 tra le istanze d e f e la applichiamo all’istanza d verso c ottenendo l’istanza g

Fig. G

R3=(d,f)

R3(d,g)

Creiamo la relazione tra le istanze a e g

Fig. H

R4=(a,g)

conoscendo le relazioni R1 e R4 le applichiamo per definire il punto h che corrisponde al vertice del pentagono

{R1(a,b),R4(b,h),R4(h,a)}

Ora possiamo determinare l’istanza i e i successivi lati del pentagono

{R1(b,h),R4(h,i),R4(i,b)}

Ripetendo il passo precedente con le istanze di partenza invertite otteniamo i lati mancanti del pentagono

{R1(h,b),R4(b,n),R4(n,h)}

Fig. I

Tutta la costruzione è stata effettuata senza utilizzare riga e compasso ne alcun postulato di Euclide.

La costruzione può essere eseguita utilizzando ad esempio, un listello di legno tagliato in base alle relazioni che si costituiscono.

La percezione sensibile

 La percezione sensibile

I maggiori contributi filosofici sull’argomento della percezione sensibile si possono fare risalire principalmente a Platone e poi a Kant, il quale riprende alcune idee di Aristotele, tali autori però, e quelli che da loro prenderanno le mosse in tutta la filosofia successiva, non hanno mai sufficientemente approfondito il tema lasciando l’oggetto della visione relegato a pura impressione sensoriale definendolo come incommensurabile o inconoscibile.

Anche nella geometria classica di Euclide l’oggetto geometrico non ha una sua esistenze autonoma e consistente ma rimane solo una elaborazione intellettuale a posteriori.

Ad esempio la costruzione che Euclide fa negli elementi, nel primo postulato, nel quale arriva alla determinazione del triangolo equilatero, giunge a questo punto conclusivo:

Ora in tale rappresentazione l’individuazione del triangolo può avvenire solo se già si sa cosa si vuole individuare infatti se vogliamo vedere il triangolo equilatero selezioneremo i punti A-B-C ma tale figura e solo virtuale, non ha una consistenza reale. Infatti avremmo potuto individuare, invece del triangolo, un rombo, quello compreso tra i punti A-F-B-C, in effetti in questa rappresentazione non esiste alcun “Triangolo” ne altre figure geometriche reali.

Possiamo dire che, dal nostro punto di vista, tutti i postulati degli elementi sono inconsistenti in quanto non individuano, come nel caso del triangolo un oggetto “Triangolo” ma una configurazione di linee nella quale, volendo, possiamo riconoscere la figura voluta. I postulati e tutta la geometria euclidea rimane valida per il suo valore analitico matematico che però non interessano la nostra ricerca.

Gli oggetti fenomenici di cui possiamo ritrovare il concetto in Kant nella “cose in se” non sono ancora oggetti intellettuali, subordinati alla ragione tramite l’assegnazione alle categorie, ma non per questo non hanno una consistenza e una logica interna, non solo visuale ma anche fisica, che ne permette l’esistenza, ancora prima di diventare oggetti di analisi e di essere filtrati per costituire la forma trascendentale.

Ogni oggetto prima di essere percepito dai sensi esiste e la sua esistenza è dovuta ad una configurazione logica che permette l’organizzazione interna dei suoi elementi ed il rapporto esterno con gli altri oggetti; tali configurazioni non sono guidate ne dalla geometria di euclide ne da quella cartesiana.

Il concetto di relazione nel nostro contesto

Il concetto di relazione nel nostro contesto.

Data la fondamentale importanza che acquisisce in questo contesto il concetto di relazione credo sia opportuno definirne il significato assunto.

Il concetto di relazione è ricavato dalla naturale predisposizione, nei fenomeni visivi, ad associare insieme oggetti che hanno uno stesso attributo con valore simile.

Ad esempio troviamo che esiste una relazione tra due boe rosse su un mare azzurro.

Le relazioni possono essere oltre che di equivalenza (o identità) di disuguaglianza (o diversità), ad esempio una foglia verde con una fragola rossa entrano in relazione proprio perché i loro colori sono complementari.

Possiamo vedere in A due oggetti (in questo caso due cerchi) sovrapposti in vista frontale in modo da essere visibili ambedue, in B li vediamo dall’alto quindi quello inferiore non è visibile. Possiamo dire che in questo caso gli oggetti sono in evidente relazione sia dal punto di vista visuale che fisico, la relazione è di equivalenza spaziale occupando la stessa posizione, l’attributo “posizione” degli oggetti è lo stesso.

Se gli oggetti iniziano a spostarsi occupando posizioni diverse, come si può vedere in C, rimangono in evidente stato di relazione, specialmente se non vi sono altri oggetti simili troppo vicini. Gli oggetti sebbene legati tra loro, ora si trovano in una relazione di diversità di posizione e l’attributo posizionale è diverso.

Se nello stesso spazio si trovano altri due oggetti in uno stato di relazione come in D, possiamo vedere che la posizione reciproca tra gli oggetti di un gruppo e quella tra gli oggetti dell’altro gruppo è diversa e possiamo approssimativamente verificare che le distanze reciproche tra gli oggetti di un gruppo rispetto a quelli dell’altro sono il doppio quindi possiamo dire che l’attributo “posizione”-differente si caratterizza con un valore che possiamo prendere come riferimento relativo arbitrario dicendo che la differenza di posizione del primo gruppo vale 1 e nel secondo vale 2 oppure che nel primo gruppo vale 0.3 e nel secondo 0.6. Nello spazio relazionale le posizioni e le dimensioni non sono assolute ma relative.

La situazione, relativamente ai singoli gruppi rimane la stessa anche se gli assi delle due relazioni cambiano di orientamento mantenendo i valori delle differenze di posizione uguali come si può vedere in E. Ciò che cambia sono le relazioni interne al gruppo al quale appartengono tutti gli oggetti delle due relazioni. Possiamo dire che in questo modo costituiamo una nuova relazione, più complessa, tra tutti gli oggetti delle due relazioni che vincolano gli oggetti alle posizioni relative all’interno del gruppo più ampio.

Si fa rilevare che i termini “posizione” e “rotazione” non sono assoluti ma relativi agli oggetti costituenti la relazione quindi non esistono valori che ne determinano la posizione ma solo la posizione di un oggetto rispetto ad un altro. Non esiste neanche una unità di riferimento.